设函数
的解析式满足
．
（1）求函数的解析式；
（2）当
时，试判断函数在区间
上的单调性，并加以证明；
（3）当时，记函数
，求函数
在区间
上的值域．
设函数的解析式满足．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，试判断函数在区间上的单调性，并加以证明；
（3）当时，记函数，求函数在区间上的值域．
解：⑴（法一）设
，则
，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3分
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分
（法二）
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分
⑵当
时，
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分
在
上单调递减，在
上单调递增，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分
证明：设
，则
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉8分
，
，
，
所以，在上单调递减，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉9分
同理可证得在上单调递增┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉10分
⑶
，
为偶函数，
所以，
的图像关于
轴对称，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉12分
又当
时，由⑵知
在
单调减，
单调增，
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉15分
当时，函数
在区间
上的值域的为
┉┉┉┉┉┉16分
（若按先求
时，的函数解析式；再判断在上的单调性；最后给出函数值域作答，则分值分别为2分、2分、2分）