(2)设a,b,c为一个不等边三角形的三边,求证:abc＞(b+c-a)(a+b-c)(c+a-b).
(3)已知a＞0,b＞0,a+b=1,求证:(1+
)(1+
)≥25.
(4)设x＞0,y＞0,求证:
.
(2)设a,b,c为一个不等边三角形的三边,求证:abc＞(b+c-a)(a+b-c)(c+a-b).
(3)已知a＞0,b＞0,a+b=1,求证:(1+)(1+)≥25.
(4)设x＞0,y＞0,求证:.
证明：
(1)∵a＞0,b＞0,c＞0且a+b+c=1,∴1-a=b+c＞0.
同理,1-b=a+c＞0,1-c=a+b＞0,
∴(1-a)(1-b)(1-c)=(a+b)(b+c)(a+c).∵a+b≥2＞0,b+c≥2＞0,a+c≥2＞0,
∴(a+b)(b+c)(a+c)≥2
·2
·2
=8abc(当a=b=c=
时,等号成立).
(2)∵a,b,c为一个不等边三角形的三边,
∴a＞0,b＞0,c＞0且a+b-c＞0,a+c-b＞0,b+c-a＞0.
∵a=
≥
＞0,
同理,b=
≥
＞0,
c=
＞0,
由于三角形是不等边三角形,上述三式不能同时取“＝”,
∴abc＞(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).
(3)设y=
=
=
∵a＞0,b＞0,a+b=1,
∴a2+2ab+b2=1.
∴a2+b2=1-2ab.
∴y=1+
令t=
,则y=2t2-2t+1.
,即0＜ab≤
.
∴
≥4,即t∈［4,+∞).
由二次函数的性质可知对称轴t=
.
y=2t2-2t+1在t∈［4,+∞)上是增函数.
∴当t=4时,y取最小值25.故(1+
)(1+
)≥25.
(4)∵x＞0,y＞0,∴(x2+y2)3=x6+y6+3x2y2(x2+y2)≥x6+y6+6x3y3＞x6+y6+2x3y3=(x3+y3)2.
由不等式的性质,两边同时开6次方,得
.