数学活动﹣﹣求重叠部分的面积． 问题情境：数学活动课上，老师

数学活动﹣﹣求重叠部分的面积．

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：

如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合．

（1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（△DCG）的面积；

（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求重叠部分（△DGH）的面积．

【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．

【分析】（1）先求出∠B=∠DCB，再证明DG∥BC，然后证出DG⊥AC，G是AC的中点．即可求出；

（2）如图2所示：先证明AG=GH，再求出，然后证明△ADH∽△ACB，得出比例式，求出，即可求出．

【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，D是AB的中点，

∴DC=DB=DA．

∴∠B=∠DCB．

又∵△ABC≌△FDE，

∴∠FDE=∠B．

∴∠FDE=∠DCB．

∴DG∥BC．

∴∠AGD=∠ACB=90°．

∴DG⊥AC．

又∵DC=DA，

∴G是AC的中点．

∴．

∴．

（2）如图2所示：

∵△ABC≌△FDE，

∴∠B=∠1．

∵∠C=90°，ED⊥AB，

∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°，

∴∠B=∠2，

∴∠1=∠2，

∴GH=GD，

∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°，

∴∠A=∠3，

∴AG=GD，

∴AG=GH，

∴点G为AH的中点；

在Rt△ABC中，，

∵D是AB中点，

∴，

在△ADH与△ACB中，∵∠A=∠A，∠ADH=∠ACB=90°，

∴△ADH∽△ACB，

∴，

∴，

∴．

∴．