在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，F为
上﹣
点，且
=
连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E．
（1）判断DB与DA的数量关系，并说明理由；
（2）求证：△BCD≌△AFD；
（3）若∠ACM=120°，⊙O的半径为5，DC=6，求DE的长．
在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，F为上﹣
点，且= 连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E．
（1）判断DB与DA的数量关系，并说明理由；
（2）求证：△BCD≌△AFD；
（3）若∠ACM=120°，⊙O的半径为5，DC=6，求DE的长．
解：（1）DB=DA．
理由：∵CD是△ABC的外角平分线，
∴∠MCD=∠ACD，
∵∠MCD+∠BCD=180°，∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠MCD=∠BAD，
∴∠ACD=∠BAD，
∵∠ACD=∠ABD，
∴∠ABD=∠BAD，
∴
DB=DA；
（2）证明：∵DB=DA，
∴
=
，
∵
=
，
∴AF=BC，
=
，
∴CD=FD，
在△BCD和△AFD中，
，
∴△BCD≌△AFD（SSS）；
（3）连接DO并延长，交AB于点N，连接OB，
∵DB=DA，
∴
=
，
∴DN⊥AB，
∵∠ACM=120°，
∴∠ABD=∠ACD=60°
，
∵DB=DA，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠OBA=30°，
∴ON=
OB=×5=2.5，
∴DN=ON+OD=7.5，
∴BD=
=5
，
∴AD=BD=5
，
∵
=
，
∴
=
，
∴∠ADC=∠BDF，
∵∠ABD=∠ACD，
∴△ACD∽△EBD，
∴
，
∴
，
∴DE=12.5．
