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如图,已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是AB和BC的中点,试问在棱DD1上

如图,已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是AB和BC的中点,试问在棱DD1上能否找到一点M,使BM⊥平面B1EF?若能,试确定点M的位置;若不能,说明理由.

答案

解析:我们考虑如果BM⊥平面B1EF时,点M应该满足使BM⊥B1E,即其在平面A1B上的射影BP应该满足BP⊥B1E,经计算,不难得到点M应为DD1的中点.

证明:如图,取DD1的中点M,AA1的中点P,CC1的中点Q.

    连结MP、MQ、BP、BQ,易证得MP⊥面ABB1A1,

∴MP⊥B1E.

    又由平面几何知BP⊥B1E,

∴B1E⊥平面MBP.

∴B1E⊥MB.

    同理可得BM⊥B1F.

    又B1E∩B1F=B1,

∴BM⊥平面B1EF.

点评:证线面垂直常用的方法有:

(1)利用定义,证明直线垂直于平面内的两条相交直线;

(2)运用线面垂直的性质定理:两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.

    上述结论“BP⊥B1E”的证明可以为：Rt△ABP≌Rt△BB1E,进一步可推得BP⊥B1E.


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