已知函数f(x)＝
.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若函数y＝g(x)对任意x满足g(x)＝f(4－x)，求证：当x>2，f(x)>g(x)；
(3)若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>4.
已知函数f(x)＝.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若函数y＝g(x)对任意x满足g(x)＝f(4－x)，求证：当x>2，f(x)>g(x)；
(3)若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>4.
[解] (1)∵f(x)＝，∴f′(x)＝
.
令f′(x)＝0，解得x＝2.
| x | (－ | 2 | (2，＋∞) |
| f′(x) | ＋ | 0 | － |
| f(x) |
| 极大值 |
|
∴f(x)在(－∞，2)内是增函数，在(2，＋∞)内是减函数．
∴当x＝2时，f(x)取得极大值f(2)＝
.
(2)g(x)＝f(4－x)＝
，令F(x)＝f(x)－g
(x)＝－，
∴F′(x)＝－
＝
.
当x>2时，2－x<0,2x>4，从而e4－e2x<0，
∴F′(x)>0，F(x)在(2，＋∞)是增函数．
∴F(x)>F(2)＝－＝0，故当x>2时，f(x)>g(x)成立．
(3)∵f(x)在(－∞，2)内是增函数，在(2，＋∞)内是减函数．
∴当x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，x1、x2不可能在同一单调区间内．
不妨设x1<2<x2，由(2)可知f(x2)>g(x2)，又g(x2)＝f(4－x2)，∴f(x2)>f(4－x2)．
∵f(x1)＝f(x2)，∴f(x1)>f(4－x2)．
∵x2>2,4－x2<2，x1<2，且f(x)在区间(－∞，2)内为增函数，
∴x1>4－x2，即x1＋x2>4.