已知：△ABC是等腰三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角

已知：△ABC是等腰三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：

（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：

①线段PB=　　，PC=　2　；

②猜想：PA²，PB²，PQ²三者之间的数量关系为　PA²+PB²=PQ²　；

（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；

（3）若动点P满足=，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）

解答： 解：（1）如图①：

①∵△ABC是等腰直直角三角形，AC=1+

∴AB===+，

∵PA=，

∴PB=，

作CD⊥AB于D，则AD=CD=，

∴PD=AD﹣PA=，

在RT△PCD中，PC==2，

故答案为，2；

②如图1．

∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，

∴CD=AD=DB．

∵AP²=（AD﹣PD）²=（DC﹣PD）²=DC²﹣2DC•PD+PD²，PB²=（DB+PD）²=（DC+DP）²=CD²+2DC•PD+PD²

∴AP²+BP²=2CD²+2PD²，

∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC²=DC²+PD²，

∴AP²+BP²=2PC²．

∵△CPQ为等腰直角三角形，

∴2PC²=PQ²．

∴AP²+BP²=PQ²

（2）如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D．

∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，

∴CD=AD=DB．

∵AP²=（AD+PD）²=（DC+PD）²=CD²+2DC•PD+PD²，PB²=（DP﹣BD）²=（PD﹣DC）²=DC²﹣2DC•PD+PD²，

∴AP²+BP²=2CD²+2PD²，

∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC²=DC²+PD²，

∴AP²+BP²=2PC²．

∵△CPQ为等腰直角三角形，

∴2PC²=PQ²．

∴AP²+BP²=PQ²．

（3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．

①当点P位于点P₁处时．

∵，

∴．

∴．

在Rt△CP₁D中，由勾股定理得：==DC，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC===DC，

∴=．

②当点P位于点P₂处时．

∵=，

∴．

在Rt△CP₂D中，由勾股定理得：==，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC===DC，

∴=．

综上所述，的比值为或．