(1)求证:AC⊥BC1;
(2)求证:AC1∥平面CDB1;
(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.
(1)求证:AC⊥BC1;
(2)求证:AC1∥平面CDB1;
(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.
思路解析
:本题是考查平行垂直的论证及异面直线所成角的求法.要充分分析题目中的平行垂直条件,可以用立体几何方法来证,也可以用向量法来证.方法一:(1)证明
:∵直三棱柱ABC—A1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,∴AC⊥BC,且BC1在平面ABC内的射影为BC.∴AC⊥BC1.
(2)证明
:设CB1与C1B的交点为E,连结DE,∵D是AB的中点,E是BC1的中点,∴DE∥AC1.
∵DE
平面CDB1,AC1
平面CDB1,
∴AC1∥平面CDB1.
(3)解
:∵DE∥AC1,∴∠CED为AC1与B1C所成的角,在△CED中,ED=
AC1=
,CD=
AB=
,CE=
CB1=
,
∴cos∠CED=
.
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为
.
方法二:∵直三棱柱ABC—A1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,
∴AC,BC,C1C两两垂直.
如图,以C为坐标原点,直线CA、CB、CC1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(
,2,0).
(1)∵
=(-3,0,0),
=(0,-4,4),
∴
·
=0.∴AC⊥BC1.
(2)设CB1与C1B的交点为E,则E(0,2,2).
∵
=(
,0,2), 
=(-3,0,4),
∴
=
.∴DE∥AC1.
∵DE
平面CDB1,AC1
平面CDB1,∴AC1∥平面CDB1.
(3)∵
=(-3,0,4),
=(0,4,4),∴cos〈
,
〉=
.
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为
.