如图为一简单几何体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=DA=2，EC=1，N为线段PB的中点．
（Ⅰ）证明：NE⊥PD；
（Ⅱ）求四棱锥B﹣CEPD的体积．
如图为一简单几何体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=DA=2，EC=1，N为线段PB的中点．
（Ⅰ）证明：NE⊥PD；
（Ⅱ）求四棱锥B﹣CEPD的体积．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（Ⅰ）连结AC与BD交于点F，则F为BD的中点，连结NF，推导出四边形NFCE为平行四边形，从而NE∥AC，推导出AC⊥PD，由此能证明NE⊥PD．
（Ⅱ）推导出平面PDCE⊥平面ABCD，从而BC是四棱锥B﹣PDCE的高，由此能法语出四棱锥B﹣CEPD的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）连结AC与BD交于点F，则F为BD的中点，连结NF，
∵N为线段PB的中点，∴NF∥PD，且NF=
PD，…
又EC∥PD，且EC=
，
∴NF∥EC，且NF=EC，∴四边形NFCE为平行四边形，
∴NE∥FC，即NE∥AC．
又∵PD⊥平面ABCD，AC⊂面ABCD，∴AC⊥PD，
∵NE∥AC，∴NE⊥PD．
解：（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDCE，
∴平面PDCE⊥平面ABCD．
∵BC⊥CD，平面PDCCE∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，
∴BC⊥平面PDCE．
∴BC是四棱锥B﹣PDCE的高．
∵
=
，
∴四棱锥B﹣CEPD的体积VB﹣CEPD=
=
．
