（本小题满分12分）
已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =
，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE = x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （如图）.
（I）当x=2时，求证：BD⊥EG ；
（II）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为
，
求的最大值；
（III）当取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值．
（本小题满分12分）
已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE = x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （如图）.
（I）当x=2时，求证：BD⊥EG ；
（II）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为，
求的最大值；
（III）当取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值．
（1）方法一：∵平面
平面
，
AE⊥EF，∴AE⊥平面，AE⊥EF，AE⊥BE，
又BE⊥EF，故可如图建立空间坐标系E-xyz．
，又
为BC的中点，BC=4，
．则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），
（－2，2，2），
（2，2，0），
（－2，2，2）
（2，2，0）＝0，∴
。
方法二：作DH⊥EF于H，连BH，GH，
由平面平面知：DH⊥平面EBCF，
而EG
平面EBCF，故EG⊥DH．
为平行四边形，
且
，四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH，BH
DH＝H，
故EG⊥平面DBH，
而BD平面DBH，∴ EG⊥BD．
（或者直接利用三垂线定理得出结果）
（2）∵AD∥面BFC，
所以 
=VA-BFC＝
，
即
时
有最大值为
．
（3）设平面DBF的法向量为
，∵AE=2， B（2，0，0），D（0，2，2），
F（0，3，0），∴
（－2，2，2），
则 
，
即
，
取
，∴
，面BCF一个法向量为
，
则cos<
>=
，
由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为－
．