首页 / 如图，四棱锥中， ,，侧面SAB为等边三角形，. (1)证明：平面SAB； (2)

如图，四棱锥中， ,，侧面SAB为等边三角形，. (1)证明：平面SAB； (2)

如图，四棱锥中， ,，侧面SAB为等边三角形，.

(1)证明：平面SAB；

(2)求AB与平面SBC所成角的余弦值.

 

 

 

 

 

 

答案

解法一：(Ⅰ)取AB中点，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，连结SE，则， .

又SD=1,故,所以为直角. …………3分

由,,,

得平面SDE,所以.

SD与两条相交直线AB、SE都垂直.

所以平面SAB.     ………………6分

另解:由已知易求得,于是.可知,同理可得,又.所以平面SAB  ……………6分

(Ⅱ)由平面知，平面平面.

作,垂足为,则平面ABCD,.

作,垂足为,则.

连结SG.则.

又,

故平面,平面平面SFG            .……9分

作,H为垂足,则平面SBC.

,即到平面SBC的距离为.

由于,所以平面,到平面的距离也为.

设AB与平面SBC所成的角为,则,                 ……12分

解法二：以C为原点,射线CD为轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

设,则、.

又设,则.

(Ⅰ) ，,

由得,

故.由得,

又由得,。

即,故.       ………………3分

故, ，， ，

，，故,又,

所以平面SAB.                      ………………6分

(Ⅱ)设平面的法向量,

则，.

又,

故                    ………………9分

取得,又

设AB与平面SBC所成的角为,则,            ……12分

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