(1)证明PQ⊥平面ABCD;
(2)求异面直线AQ与PB所成的角;
(3)求点P到平面QAD的距离.
(1)证明PQ⊥平面ABCD;
(2)求异面直线AQ与PB所成的角;
(3)求点P到平面QAD的距离.
(1)证明:取AD的中点M,连结PM、QM.
因为P—ABCD与Q—ABCD都是正四棱锥,所以AD⊥PM,AD⊥QM.
从而AD⊥平面PQM.
又PQ
平面PQM,
所以PQ⊥AD.
同理,PQ⊥AB,所以PQ⊥平面ABCD.
(2)解析:连结AC、BD,设AC∩BD=O,由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上,从而P、A、Q、C四点共面.
取OC的中点N,连结PN.
因为
,
所以
,从而AQ∥PN,
∠BPN(或其补角)是异面直线AQ与PB所成的角.
连结BN.
因为PB=
,
所以cos∠BPN=
.
从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos
.
(3)解析:由(1)知,AD⊥平面PQM,所以平面QAD⊥平面PQM.
过P作PH⊥QM于H,则PH⊥平面QAD,所以PH的长为点P到平面QAD的距离.
连结OM,因为OM=
AB=2=OQ,
所以∠MQP=45°.
又PQ=PO+QO=3,于是PH=PQsin45°=
,
即点P到平面QAD的距离为
.