已知{an}是由非负整数组成的数列,满足a1=0,a2=3,an+1·an=(an-1+2)(an-2+2),n=3,

已知{a_n}是由非负整数组成的数列,满足a₁=0,a₂=3,a_n₊₁·a_n=(a_n_-1+2)(a_n_-2+2),n=3,4,5,

…,用反证法证明a₃=2.

答案

证明

:由题设得a₃a₄=10,且a₃、a₄均为非负整数,∴a₃的可能的值为1,2,5,10.

若a₃=1,则a₄=10, ,与题设矛盾.

若a₃=5,则a₄=2,,与题设矛盾.

若a₃=10,则a₄=1,a₅=60, ,与题设矛盾.∴a₃=2.

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