,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形.
图2-2-6
(1)求证:AD⊥BC.
(2)求二面角B-AC-D的大小.
(3)在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角？若存在,确定E的位置;若不存在,请说明理由.
,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形.
图2-2-6
(1)求证:AD⊥BC.
(2)求二面角B-AC-D的大小.
(3)在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角？若存在,确定E的位置;若不存在,请说明理由.
(1)证法一:作AH⊥面BCD于H,连结DH.
AB⊥BD
,BD=1,∴AB=
∴BD⊥DC.
又BD=CD,则BHCD是正方形,则DH⊥BC,
∴AD⊥BC.
证法二:取BC的中点O,连结AO、DO,
则有AO⊥BC,DO⊥BC,∴BC⊥面AOD.∴BC⊥AD.
(2)解:作BM⊥AC于M,作MN⊥AC交AD于N,则∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角,因为AB=AC=BC=
,MN=
CD=
,BN=
AD=
,由余弦定理可求得cos∠BMN=
∴∠BMN=arccos
(3)解:设E是所求的点,作EF⊥CH于F,连结FD,则EF∥AH,∴EF⊥面BCD,∠EDF就是ED与面BCD所成的角,则∠EDF=30°.设EF=x,易得AH=HC=1,则CF=x,FD=
.解得x=
,则CE=
x=1.故线段AC上存在E点,且CE=1时,ED与面BCD成30°角.