已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．
(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
(2)当m≤2时，证明f(x)>0.
已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．
(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
(2)当m≤2时，证明f(x)>0.
(1)解 f(x)＝ex－ln(x＋m)⇒f′(x)＝ex－
⇒f′(0)＝e0－
＝0⇒m＝1，
定义域为{x|x>－1}，
f′(x)＝ex－
＝
，
显然f(x)在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．
(2)证明 令g(x)＝ex－ln(x＋2)，
则g′(x)＝ex－
(x>－2)．
h(x)＝g′(x)＝ex－ (x>－2)⇒h′(x)＝ex＋
>0，
所以h(x)是单调递增函数，h(x)＝0至多只有一个实数根，
又g′(－
)＝
－
<0，g′(0)＝1－>0，
所以h(x)＝g′(x)＝0的唯一实根在区间
内，
设g′(x)＝0的根为t，
则有g′(t)＝et－
＝0
，
所以，et＝⇒t＋2＝e－t，
当x∈(－2，t)时，g′(x)<g′(t)＝0，g(x)单调递减；
当x∈(t，＋∞)时，g′(x)>g′(t)＝0，g(x)单调递增；
所以g(x)min＝g(t)＝et－ln(t＋2)＝
>0，
当m≤2时，有ln(x＋m)≤ln(x＋2)，
所以f(x)＝ex－ln(x＋m)≥ex－ln(x＋2)
＝g(x)≥g(x)min>0.