设函数
，其中
.
（1）若
，求
在[1,4]上的最值；
（2）若在定义域内既有极大值又有极小值，求实数
的取值范围；
（3）求证：不等式
恒成立.
设函数，其中.
（1）若，求在[1,4]上的最值；
（2）若在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；
（3）求证：不等式恒成立.
【答案】（1）最小值为
，最大值为
；（2）
；（3）详见解析.
【解析】
（2）若在定义域内既有极大值又有极小值，即
在
有两个不等根.
即
在有两不等实根.
令
，则
.
（3）设
，
求导得，
.
所以
在
上单调递增，所以
即
成立，令
即得.