如图：在直角坐标系xoy中，设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右两个焦点分

如图：在直角坐标系xoy中，设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右两个焦点分别为F₁、F₂．过右焦点F₂与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆C的一个顶点为B（0，﹣b），求点M到直线BF₁的距离；

（3）过F₁M中点的直线l₁交椭圆于P、Q两点，求|PQ|长的最大值以及相应的直线方程．

 【考点】椭圆的简单性质．

【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（1）设右焦点F₂为（c，0），令x=c，代入椭圆方程，可得c=，=1，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；

（2）求得直线BF₁的方程，由点到直线的距离公式，计算即可得到所求值；

（3）过F₁M中点的直线l₁的方程设为x=m（y﹣），代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理即可得到弦长的取值范围，再由斜率为0，求得直线方程，代入椭圆方程，求得PQ的长，即可得到最大值．

【解答】解：（1）设右焦点F₂为（c，0），

令x=c，代入椭圆可得y=±b，

由M（，1），即有c=，=1，

又a²﹣b²=2，解得a=2，b=，

则椭圆方程为+=1；

（2）由题意可得B（0，﹣），F₁（﹣，0），

直线BF₁的方程为x+y+=0，

则点M到直线BF₁的距离为=2+；

（3）过F₁M中点的直线l₁的方程设为x=m（y﹣），

代入椭圆方程，可得（2+m²）y²﹣m²y+m²﹣4=0，

由于中点（0，）在椭圆内，故直线与椭圆相交，

设交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

即有y₁+y₂=，y₁y₂=，

弦长|PQ|=•|y₁﹣y₂|=•

=，令t=2+m²（t≥2），

则|PQ|==，

当m=0即t=2时，取得最小值2，

即有2≤|PQ|＜；

当直线l₁：y=时，代入椭圆方程，可得x=±，

即有|PQ|=．

综上可得，|PQ|的最大值为，此时直线方程为y=．

【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查点到直线的距离公式，以及联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理的运算能力，属于中档题．