已知双曲线=1的离心率e＞+1,左,右焦点分别为F1,F2,左准线为l,能否在双

已知双曲线=1的离心率e＞+1,左,右焦点分别为F₁,F₂,左准线为l,能否在双曲线的左半支上找一点P,使|PF₁|是P到l的距离d与|PF₂|的比例中项?

答案

解：

令｜PF₁｜=t₁,｜PF₂｜=t₂,假设在双曲线左支上存在点P,使t₁²=dt₂,则

,即e=,

∴t₂=et₁（e=为离心率）.

又t₂-t₁=2a,

∴ 解得t₁=,t₂=.

由双曲线的概念，有t₁+t₂≥2c,

即2c≤.

∴e+1≥e（e-1），

∴1＜e≤+1，与已知e＞+1矛盾.

∴满足条件的P点不存在.

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