（全国Ⅱ卷理19文20）如图，正四棱柱
中，
，点
在
上且
．
（Ⅰ）证明：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小．
（全国Ⅱ卷理19文20）如图，正四棱柱中，
，点在上且．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
解法一：依题设知
，
．
（Ⅰ）连结
交
于点
，则
．
由三垂线定理知，
． 3分
在平面
内，连结
交
于点
，
由于
，
故
，
，
与
互余．于是
．
与平面
内两条相交直线
都垂直，
所以
平面． 6分
（Ⅱ）作
，垂足为
，连结
．由三垂线定理知
，
故
是二面角
的平面角． 8分
，
，
．
，
．
又
，
．
．
所以二面角的大小为
． 12分
解法二：以
为坐标原点，射线
为
轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系
．
依题设，
．
，
． 3分
（Ⅰ）因为
，
，
故
，
．又
，
所以
平面
． 6分
（Ⅱ）设向量
是平面
的法向量，则
，
．
故
，
．
令
，则
，
，
． 9分
等于二面角的平面角，
．
所以二面角的大小为
． 12分