椭圆
的离心率为
, 过点
, 记椭圆的左顶点为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设垂直于
轴的直线
交椭圆于
两点, 试求
面积的最大值；
（3）过点
作两条斜率分别为
的直线交椭圆于
两点，且
, 求证: 直线
恒过一个定点.
椭圆的离心率为, 过点, 记椭圆的左顶点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设垂直于轴的直线交椭圆于两点, 试求面积的最大值；
（3）过点作两条斜率分别为的直线交椭圆于两点，且, 求证: 直线恒过一个定点.
（1）由
，解得
所以椭圆C的方程为x2＋2y2＝1.
（2） 解：设B(m，n)，C(－m，n)，则S△ABC＝
×2|m|×|n|＝|m|·|n|，
又1＝m2＋2n2≥2
＝2
|m|·|n|，所以|m|·|n|≤
，
当且仅当|m|＝|n|时取等号，
从而S△ABC≤，即△ABC面积的最大值为.
（3）证明：因为A(－1,0)，所以AB：y＝k1(x＋1)，AC：y＝k2(x＋1)，
由
消去y，得(1＋2k
)x2＋4kx＋2k－1＝0，解得x＝－1或
∴ 点
，同理，有
，而k1k2＝2，
∴ 
∴ 直线BC的方程为
即
，即
，
所以，得直线BC恒过定点
.