已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点P是底边BC上一点且满足PA=PB，⊙O是△PAB的外接圆，过点P作PD∥AB交AC于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若BC=8，tan∠ABC=
，求⊙O的半径．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点P是底边BC上一点且满足PA=PB，⊙O是△PAB的外接圆，过点P作PD∥AB交AC于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若BC=8，tan∠ABC=，求⊙O的半径．
（1）证明见解析；（2）
．
【分析】
（1）先根据圆的性质得：
，由垂径定理可得：OP⊥AB，根据平行线可得：OP⊥PD，所以PD是⊙O的切线；
（2）如图2，作辅助线，构建直角三角形，根据三角函数设CG=
x，BG=2x，利用勾股定理计算x=
，设AC=a，则AB=a，AG=
﹣a，在Rt△ACG中，由勾股定理列方程可得a的值，同理设⊙O的半径为r，同理列方程可得r的值．
【详解】
解：（1）如图1，连接OP，
∵PA=PB，
∴，
∴OP⊥AB，
∵PD∥AB，
∴OP⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
（2）如图2，过C作CG⊥BA，交BA的延长线于G，
Rt△BCG中，tan∠ABC=
，
设CG=x，BG=2x，
∴BC=
x，
∵BC=8，即x=8，
x=，
AC=a，则AB=a，AG=﹣a，
在Rt△ACG中，由勾股定理得：AG2+CG2=AC2，
∴ (﹣a)2+(
)2=a2，
a=2，
∴AB=2，BE=，
Rt△BEP中，同理可得：PE=
，
设⊙O的半径为r，则OB=r，OE=r﹣，
由勾股定理得：r2=(r-)2+()2，
r=，
答：⊙O的半径是．
【点睛】
本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角函数和勾股定理的计算等，综合性较强，熟练应用勾股定理是解决本题的关键.