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点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数(a＞c＞0)

点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数(a＞c＞0),求点M的轨迹.

答案

解

:设d是点M到直线l的距离,

根据题意,所求轨迹就是集合,由此得.

将上式两边平方并化简,得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).

设a2-c2=b2,就可化成(a＞b＞0).

这是椭圆的标准方程,所以点M的轨迹是长轴、短轴分别为2a、2b的椭圆.

启示

:当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(0＜e＜1)时,这个点的轨迹是椭圆.对于椭圆(a＞b＞0)上任一点P,|PF|〔F(c,0),〕与P到直线的距离的比为,这也是椭圆的一个性质.

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