（本小题满分14分）
在数列
中，
，且对任意
.
，
，
成等差数列，其公差为
。
（Ⅰ）若=
，证明，，
成等比数列（）
（Ⅱ）若对任意，，，成等比数列，其公比为
。
（本小题满分14分）
在数列中，，且对任意.，，成等差数列，其公差为。
（Ⅰ）若=，证明，，成等比数列（）
（Ⅱ）若对任意，，，成等比数列，其公比为。
【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。
（Ⅰ）证明：由题设，可得
。
所以
=
=2k(k+1)
由
=0，得
于是
。
所以
成等比数列。
（Ⅱ）证法一：（i）证明：由
成等差数列，及
成等比数列，得
当
≠1时，可知
≠1，k
从而
所以
是等差数列，公差为1。
（Ⅱ）证明：
，
，可得
，从而
=1.由（Ⅰ）有
所以
因此，
以下分两种情况进行讨论：
当n为偶数时，设n=2m(
)
若m=1,则
.
若m≥2，则
+
所以
(2)当n为奇数时，设n=2m+1（）
所以
从而
···
综合（1）（2）可知，对任意
,
,有
证法二：（i）证明：由题设，可得
所以
由
可知
。可得
，
所以
是等差数列，公差为1。
（ii）证明：因为
所以
。
所以
，从而
，
。于是，由（i）可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得
= 
，故
。
从而
。
所以
，由
，可得
。
于是，由（i）可知
以下同证法一。