（08年绵阳市诊断三理）（12分）
为坐标原点，
和
两点分别在射线
≥
上移动，且
，动点
满足
，记点的轨迹为
。
（1）求
的值；
（2）求点的轨迹的方程，并说明它表示怎样的曲线？
（3）设点
，若直线
与曲线交于
、
两点，且、两点都在以
为圆心的圆上，求
的取值范围。
（08年绵阳市诊断三理）（12分）为坐标原点，和两点分别在射线≥上移动，且，动点满足，记点的轨迹为。
（1）求的值；
（2）求点的轨迹的方程，并说明它表示怎样的曲线？
（3）设点，若直线 与曲线交于、两点，且、两点都在以为圆心的圆上，求的取值范围。
解析：（1）
分别在射线
上，
，即
，
，
又
，
。
，
。……2分
（2）设P(x,y)，
由
可得
即
，
两式相减有：
，即
。……6分
，且yA、yB不同时为0，
。
∴轨迹C的方程为
，它表示双曲线
的上支。……5分
（3）
消去x，整理得：
。……6分
∵直线y=kx+m与曲线C交于M，N两点，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
，
即
……8分
由①整理得：m2+3k2-1>0， ④
由③有：3k2-1<0 ⑤
∴由②有m>0。
又
、N在以点G为圆心的圆上，
设MN的中点为Q，则
，即
，
。
，
。
又
，
。
整理得4mk=3k2-1，⑥……10分
把⑥代入④中有：m2+4mk>0，
由m>0，所以m+4k>0，
又由⑥有
，代入上式得
，
，
中
。
于是19k2-1<0。
解得
。
再由3k2-1<0，得
。
综合得k的取值范围为
。……12分