图5
（1）证明平面PAB⊥平面PCM；
（2）证明线段PC的中点为球O的球心；
（3）若球O的表面积为25π，求三棱锥P—ABC的体积.
图5
（1）证明平面PAB⊥平面PCM；
（2）证明线段PC的中点为球O的球心；
（3）若球O的表面积为25π，求三棱锥P—ABC的体积.
∴CM⊥AB.∵PA⊥平面ABC,CM
平面ABC,∴PA⊥CM.
∵AB∩PA=A,AB
平面PAB,PA
平面PAB,∴CM⊥平面PAB.
∵CM
平面PCM,∴平面PAB⊥平面PCM.
(2)证明:由(1)知CM⊥平面PAB.
∵PM
平面PAB,∴CM⊥PM.
∵PA⊥平面ABC,AC
平面ABC,∴PA⊥AC.
取PC的中点N,连接MN、AN.
在Rt△PAC中,点N为斜边PC的中点,∴AN=PN=NC.
在Rt△PCM中,点N为斜边PC的中点.∴MN=PN=NC.
∴PN=NC=AN=MN.∴点N是球O的球心,即线段PC的中点为球O的球心.
(注:本题答案中符号“
”等价于“
”)
(3)解:依题意得4π·NC2=25π,解得NC=
.
∴PC=5,PA=
=
=4.
∵AB=AC=BC=3,∴△ABC的面积S△ABC=
×32=
.
∴三棱锥P—ABC的体积为V=
×S△ABC×PA=
×
×4=3
.