(1)求证:当a取定值时,点H必为定点;
(2)如果点H落在左顶点与左焦点之间,试求椭圆的离心率的取值范围;
(3)如果以OP为直径的圆与直线AB相切,且凸四边形ABPH的面积等于3+2,求椭圆的方程.
(1)求证:当a取定值时,点H必为定点;
(2)如果点H落在左顶点与左焦点之间,试求椭圆的离心率的取值范围;
(3)如果以OP为直径的圆与直线AB相切,且凸四边形ABPH的面积等于3+2,求椭圆的方程.
,OP∥AB,得lOP:y=
x,代入椭圆方程
=1,得x2=
,∴P(
a,
b)或P(
a,
b).∵PH⊥x轴,
∴H(
a,0)或H(
a,0).∵a为定值,∴H为定点.
(2)∵点H落在左顶点与左焦点之间,∴只有H(
a,0),且-a＜
a＜-c,
可解得0＜e＜
.
(3)以OP为直径的圆与直线AB相切等价于点O到直线AB的距离等于
|OP|.
由条件设直线AB:
+
=1,则点O到直线AB的距离d=
,
又|OP|=
,∴
=
,得a2+b2=2
ab.①
又由S四边形ABPH=S△ABO+S四边形OBPH=
ab+
(
b+b)
a=
ab=3+
,
得ab=4,②
由①②解得a2=4(
+1),b2=4(
-1),所以所求椭圆方程为
=1.