如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别

如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=a．

（1）求证：MN∥平面PAD；

（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．

【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．

【专题】证明题．

【分析】（1）欲证MN∥平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面PAD内一直线平行即可，设PD的中点为E，连接AE、NE，易证AMNE是平行四边形，则MN∥AE，而AE⊂平面PAD，NM⊄平面PAD，满足定理所需条件；

（2）欲证平面PMC⊥平面PCD，根据面面垂直的判定定理可知在平面PMC内一直线与平面PCD垂直，而AE⊥PD，CD⊥AE，PD∩CD=D，根据线面垂直的判定定理可知AE⊥平面PCD，而MN∥AE，则MN⊥平面PCD，又MN⊂平面PMC，满足定理所需条件．

【解答】证明：（1）设PD的中点为E，连接AE、NE，

由N为PC的中点知ENDC，

又ABCD是矩形，∴DCAB，∴ENAB

又M是AB的中点，∴ENAM，

∴AMNE是平行四边形

∴MN∥AE，而AE⊂平面PAD，NM⊄平面PAD

∴MN∥平面PAD

证明：（2）∵PA=AD，∴AE⊥PD，

又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥AE，∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，

∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，

又MN⊂平面PMC，

∴平面PMC⊥平面PCD．

【点评】本题主要考查平面与平面垂直的判定，以及线面平行的判定，同时考查了空间想象能力和推理能力，以及转化与划归的思想，属于基础题．