如图，三棱柱
中，侧面
侧面
，
，
，
，
为棱
的中点，
在棱
上，
面
．
（1）求证：为的中点；
（2）求二面角
的余弦值．
如图，三棱柱中，侧面侧面，，
，，为棱
的中点，在棱上，
面．
（1）求证：为的中点；
（2）求二面角的余弦值．
(Ⅰ)连结
,因为
为正三角形,为棱
的中点,
所以
,从而
,又面
面
,
面
面
,
面,
所以
面.………………………………1分
以
为原点,建立空间直角坐标系
如图所示,………2分
不妨设
,则
,
,
,
设
,则
,
,………3分
因为
平面
,
平面,所以
,
所以
,解得
,即
,所以为
的中点.………5分
(Ⅱ)
,
,
,
设平面
的法向量为
,则
,即
,解得
,
令
,得
,…………………………………9分
显然平面
的一个法向量为
,……………………10分
所以
,
所以二面角
的余弦值为
.…………………12分
[传统法](Ⅰ)设
,由
,所以
,
因为平面,平面,所以,
从而
,所以
,所以
,
故
,所以为的中点.…………………5分
(Ⅱ)连结,由
可得
为正三角形,
取
中点
,连结
,则
,
因为面面,面面,
面,所以
面.…………………7分
作
于
,连结
,则
,
所以
是二面角的平面角.………………………………9分
经计算得
,
,
,
,
所以二面角的余弦值为.…………………………………12分