( 14分）如图，有一正方形钢板
缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线
是以直线AD为对称轴，以线段
的中点
为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线
，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．
( 14分）如图，有一正方形钢板缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线是以直线AD为对称轴，以线段的中点为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．
解法一：以
为原点，直线
为
轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意
可设抛物线弧
的方程为
∵点
的坐标为
，∴
，
故边缘线的方程
为
.…4分
要使梯形
的面积最大，则
所在的直线必与抛物线
弧相切，设切点坐标为
，∵
，
∴直线的的方程可表示为
，即
，…………8分
由此可求得
，
.
∴
，
，……10分
设梯形的面积为
，则
. ……………………………………………………………12分
∴当
时，
，故的最大值为
. 此时
.……13分
答：当
时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为
. ………………………………………………………………………14分
解法二：以
为原点，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧的方程为
∵点的坐标为
，∴
，
故边缘线的方程为
. ………5分
要使梯形的面积最大，则所在的直线必与抛物线弧相切，设切点坐标为
，
∵，
∴直线的的方程可表示为
，即
，……8分
由此可求得
，
.
∴
，
，……………10分
梯形的面积为，则
. ……………………………………………………………12分
∴当时，，
故的最大值为. 此时.………13分
答：当时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为. ………………………………………………………………………14分