（本小题满分12分）如图，在长方体
中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱
，P是侧棱
上的一点，
.
（Ⅰ）试问直线
与AP能否垂直？并说明理由；
（Ⅱ）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角为60º；
（Ⅲ）若m=1，求平面PA1D1与平面PAB所成角的大小.
（本小题满分12分）如图，在长方体中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱，P是侧棱上的一点，.
（Ⅰ）试问直线与AP能否垂直？并说明理由；
（Ⅱ）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角为60º；
（Ⅲ）若m=1，求平面PA1D1与平面PAB所成角的大小.
【解析】（Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DD1分别为
x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
则D(0,0,0)， A(1,0,0)， B(1,1,0)， C(0,1,0),
D1 (0,0,2)，A1 (1,0,2)，B1 (1,1,2)，C1 (0,1,2)， P(0,1,m)，
所以
，
.………4分
（Ⅱ）∵
又∵
，
∴
的一个法向量.
设直线
与平面
所成的角为
，
则
=
，解得
.
故当时，直线AP与平面
所成角为60º.………………8分
（Ⅲ）∵m=1，∴P(0,1,1)，∴
.
设平面PA1D1的法向量为
，可求得
，
设平面PAB的法向量为
，可求得
.
∴
，
故平面PA1D1与平面PAB所成角为600. ………………12分