一系列椭圆以定直线l为准线,所有椭圆的中心都在定点M,点M到l的距离

一系列椭圆以定直线l为准线,所有椭圆的中心都在定点M,点M到l的距离为2,若这一系列椭圆的离心率组成以为首项,公比为的等比数列,而椭圆的长轴长为c_n,求(c₁+c₂+…+c_n).

答案

解:由椭圆的中心M到准线l的距离为2,得=2,

从而a=2e,又e_n=()^n-1,所以c_n=4e_n=3()^n-1.

所以{c_n}是以3为首项,以为公比的等比数列.

所以(c₁+c₂+…+c_n)==.

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