某汽车销售公司为促销采取了较为灵活的付款方式,对购买10万元一辆

方案一:分3次付清,购买后4个月第1次付款,再过4个月第2次付款,再过4个月第3次付款.

方案二:分12次付清,购买后1个月第1次付款,再过1个月第2次付款,…,购买后12个月第12次付款.

规定分期付款中每期付款额相同,月利率为0.8%,每月利息按复利计算,即指上月利息要计入下月的本金.

(1)试比较以上两种方案的哪一种方案付款总额较少?

(2)若汽车销售公司将收回的售车款进行再投资,可获月增长2%的收益,为此对一次性付款给予降价p%的优惠,为保证一次性付款经一年后的本金低于方案一和方案二中较少一种的付款总额,且售车款再投资一年后的本金要高于车价款一年的本金,试确定p的取值范围.

(注:计算结果保留三位有效数字,参考数据:1.008³≈1.024,1.008⁴≈1.033,1.008¹¹≈1.092,1.008¹²≈1.1,1.02¹¹≈1.243,1.02¹²≈1.268)

解:(1)对于方案一,设每次付款额为x₁万元,那么一年后,第一次付款的本金为1.008⁸x₁万元,第2次付款的本金为1.008⁴x₁万元,第3次付款的本金为x₁万元,则1.008⁸x₁+1.008⁴x₁+x₁=10×1.008¹².

    解得x₁≈3.63(万元).

    付款总额为3×3.63=10.89(万元).

    对方案二,设每次付款为x₂万元,那一年后,

    第一次付款的本金为1.008¹¹x₂万元,第2次付款的本金为1.008¹⁰x₂万元,…,第12次付款的本金为x₂万元.

    则1.008¹¹x₂+1.008¹⁰x₂+…+1.008x₂+x₂=10×1.008¹².

    解得x₂≈0.88(万元),

    付款总额为12×0.88=10.56(万元).

    显然,第二种方案付款总额较少.

    (2)如果降低p%的售车款为10(1-p%),那么一年后产生的本金为10(1-p%)×1.008¹²,而转入再投资所产生的本金为10(1-p%)(1+2%)¹²,

    则依题意有

    解得4＜p＜13.2.

讲评:复利计算是一种等比数列的模型,本题两种方案的复利计算公比不同,运算要求也很高.本题虽然主要考查的是数列知识,但综合程度很大,和不等式、二项式定理的计算融合在一起,难度就随之增大了.