设f(x)=-
x3+
x2+2ax.
(1)若f(x)在
上存在单调增区间，求实数a的取值范围；
(2)当0<a<2时，若f(x)在[1，4]上的最小值为-
，求f(x)在该区间上的最大值.
设f(x)=-x3+x2+2ax.
(1)若f(x)在上存在单调增区间，求实数a的取值范围；
(2)当0<a<2时，若f(x)在[1，4]上的最小值为-，求f(x)在该区间上的最大值.
(1) 因为f(x)=-x3+x2+2ax，
所以f'(x)=-x2+x+2a.
又f(x)在上存在增区间.
所以f'(x)>0在上有解.
又f'(x)=-x2+x+2a的对称轴方程为x=，所以f'(x)在
上单调递减，所以在上，f'(x)<f'
=
+2a，由题意知+2a>0，即a∈
.
(2) f'(x)=-x2+x+2a，当0<a<2时，Δ=1+8a>0，
所以f'(x)=-x2+x+2a=0有两个不相等的实数根x1，x2，
则x1=
，
x2=
(舍去).
由题知x1=∈[1，4]，
所以当x∈(1，x1)时，f'(x)>0；
当x∈(x1，4)时，f'(x)<0，
所以当x=1或4时，f(x)取最小值.
又f(1)=2a+
，f(4)=8a-
.
因为a∈(0，2)，所以f(4)<f(1)，
所以f(x)min=f(4)=8a-=-，
解得a=1.
所以x1=
=2，
f(x)max=f(2)=
.