已知(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz=0且a,b,c构成公差不为零的等差数列,求

已知(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz=0且a,b,c构成公差不为零的等差数列,求证:x,y,z成等比数列.

答案

思路分析:要证x,y,z成等比数列,需由条件推出y2=xz.

    证法一:∵a,b,c成等差数列,∴b=.

    又∵(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)·logmz=0,

∴(-c)logmx+(c-a)logmy+(a-)logmz=0.

∴(a-c)(logmx-2logmy+logmz)=0.

∵a,b,c的公差不为零,∴a-c≠0.

∴logmx-2logmy+logmz=0.

∴logmy2=logmxz.

∴y2=xz.

    又由题设知,x,y,z均不为零,

∴x,y,z成等比数列.

    证法二:设等差数列a,b,c的公差为d(d≠0),则b-c=-d,c-a=2d,a-b=-d,代入已知条件式,得-d(logax-2logmy+logmz)=0.

∵d≠0,∴logmx-2logmy+logmz=0.

∴logmy2=logmxz.

∴y2=xz.

∵由题设知x,y,z均不为0,

∴x,y,z成等比数列.

相关题目

“仓廪实而知礼节,衣食足而知荣辱”体现的文化生活的道
“仓廪实而知礼节,衣食足而知荣辱”体现的文化生活的道理是( ) A 文化和经济相互交融 B 经济发展了,文化也就发展了 C 文化对经济发展有反作用 D
(泉州市)下列词语中加点的字的读音,全都不相同的一组
(泉州市)下列词语中加点的字的读音,全都不相同的一组是(   ) A.调动   碉堡   啁啾   未雨绸缪   风流倜傥 B.庇护   毗连   砒霜   如
将1gH2和4gO2混合点燃,充分反应,放出71.45kJ热量,同样条件
将1gH2和4gO2混合点燃,充分反应,放出71.45kJ热量,同样条件下1molH2在O2中完全燃烧放出的热量是A.71.45kJ             B.142.9kJ              C.571
某中学八(5)班学生最近发生了几起侵权事件,班主任王老
某中学八(5)班学生最近发生了几起侵权事件,班主任王老师针对这一情况在班级里开展了维权宣传活动,如果你是班级一员,请你围绕这一主题出一
将下列生活中的谚语或诗句与涉及的生物学现象连线。 墙内
将下列生活中的谚语或诗句与涉及的生物学现象连线。 墙内开花墙外香                             生物对环境的影响 大树底下好乘凉 
下面是旅居台湾的孔子第77代嫡传孙孔德成写给在大陆的二姐
下面是旅居台湾的孔子第77代嫡传孙孔德成写给在大陆的二姐的对联中的上联,请为它选填下联。上联:风雨一杯酒   下联:______________   A.天涯共此
如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,AB=10,cosB=,点D在边BC上,tan∠CA
如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,AB=10,cosB=,点D在边BC上,tan∠CAD=. (1)求BD长; (2)设,,用、的线性组合表示.  
  读图3.回答下面试题。 图中①和②处发展农业生产的主
  读图3.回答下面试题。 图中①和②处发展农业生产的主要制约因素分别是   A.地形、水源    B.水源、气温   C.水源、光照    D.土壤、地形

最新题目