设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过

设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交z轴负半轴于点Q，且+=，过A，Q，F₂三点的圆的半径为2．过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）．

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由．

【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．

【分析】（I）因为，知a，c的一个方程，再利用△AQF的外接圆与直线l相切得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；

（II）设l的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用向量的坐标表示，利用基本不等式，即可求得m的取值范围．

【解答】解：（I）因为，所以F₁为F₂Q中点．

设Q的坐标为（﹣3c，0），

因为AQ⊥AF₂，所以b²=3c×c=3c²，a²=4c×c=4c²，

且过A，Q，F₂三点的圆的圆心为F₁（﹣c，0），半径为2c

因为该圆与直线l相切，所以，解得c=1，

所以a=2，b=，所以所求椭圆方程为；

（Ⅱ）设l的方程为y=kx+2（k＞0），与椭圆方程联立，消去y可得（3+4k²）x²+16kx+4=0．

设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），则x₁+x2=﹣

∴=（x₁﹣m，y₁）+（x₂﹣m，y₂）=（x₁+x₂﹣2m，y₁+y₂）．

=（x₁+x₂﹣2m，k（x₁+x₂）+4）

又=（x₂﹣x₁，y₂﹣y₁）=（x₂﹣x₁，k（x₂﹣x₁））．

由于菱形对角线互相垂直，则（）•=0，

所以（x₂﹣x₁）[（x₁+x₂）﹣2m]+k（x₂﹣x₁）[k（x₁+x₂）+4]=0．

故（x₂﹣x₁）[（x₁+x₂）﹣2m+k²（x₁+x₂）+4k]=0．

因为k＞0，所以x₂﹣x₁≠0．

所以（x₁+x₂）﹣2m+k²（x₁+x₂）+4k=0，即（1+k²）（x₁+x₂）+4k﹣2m=0．

所以（1+k²）（﹣）+4k﹣2m=0．

解得m=﹣，即

因为k＞，可以使，所以

故存在满足题意的点P且m的取值范围是[）．

【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，解题时应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，属于中档题．