，侧棱AA1＝1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M. 
（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；
（Ⅱ）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.
，侧棱AA1＝1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M.
（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；
（Ⅱ）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.
20.本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想能力和推理运算能力.
解法一：（Ⅰ）如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1=
∵CB=CA1=
∴△CBA1为等腰三角形，
又知D为其底边A1B的中点，
∴CD⊥A1B.
∵A1C1=1,C1B1=
∴A1B1=
又BB1＝1，∴A1B＝2.
∵△A1CB为直角三角形，D为A1B的中点，
∴CD=
又DM=
,DM=C1M,∴△CDM≌△CC1M,∠CDM=∠CC1M=90°,即CD⊥DM.
因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.
（Ⅱ）设F、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F，
则FG∥CD，FG=
∴FG=
由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D，知BD=B1D=
所以△BB1D是边长为1的正三角形，
于是B1G⊥BD,B1G=
∴∠B1GF是所求二面角的平面角.
又B1F2=B1B2+BF2=1+（
,∴cosB1GF=
=－
.即所求二面角的大小为
－arccos
解法二：如图，以C为原点建立坐标系.
（Ⅰ）B（
,1,0）,A1（0,1,1）,D（
,
,
）,M（
,1,0）,
,
,
）,
=（
,－1,－1）,
,－
）,则
=0, 
·
=0,∴CD⊥A1B,CD⊥DM.
因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.
（Ⅱ）设BD中点为G，连结B1G，则G（
,
）,
,
,
）,
,－
,
）,∴
=0.∴BD⊥B1G.又CD⊥BD，
∴
的夹角θ等于所求二面角的平面角.cosθ=
.所以所求二面角的大小等于
－arccos