定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），都有f

定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），都有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N^*）成立，则称f（x）为k阶伸缩函数．

（Ⅰ）若函数f（x）为二阶伸缩函数，且当x∈（1，2]时，，求的值；

（Ⅱ）若函数f（x）为三阶伸缩函数，且当x∈（1，3]时，，求证：函数在（1，+∞）上无零点；

（Ⅲ）若函数f（x）为k阶伸缩函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，kⁿ⁺¹]（n∈N^*）上的取值范围．

【考点】函数的值．

【专题】证明题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】（Ⅰ）当x∈（1，2]时，，从而f（）=，由此能求出函数f（x）为二阶伸缩函数，由此能求出的值．

（Ⅱ）当x∈（1，3]时，，由此推导出函数在（1，+∞）上无零点．

（Ⅲ）当x∈（kⁿ，kⁿ⁺¹]时，，由此得到，当x∈（kⁿ，kⁿ⁺¹]时，f（x）∈[0，kⁿ），由此能求出f（x）在（0，kⁿ⁺¹]（n∈N^*）上的取值范围是[0，kⁿ）．

【解答】解：（Ⅰ）由题设，当x∈（1，2]时，，

∴．

∵函数f（x）为二阶伸缩函数，

∴对任意x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）．

∴．

（Ⅱ）当x∈（3^m，3^m+1]（m∈N^*）时，．

由f（x）为三阶伸缩函数，有f（3x）=3f（x）．

∵x∈（1，3]时，．

∴．

令，解得x=0或x=3^m，它们均不在（3^m，3^m+1]内．

∴函数在（1，+∞）上无零点．

（Ⅲ） 由题设，若函数f（x）为k阶伸缩函数，有f（kx）=kf（x），

且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1）．

∴当x∈（kⁿ，kⁿ⁺¹]时，．

∵，所以．

∴当x∈（kⁿ，kⁿ⁺¹]时，f（x）∈[0，kⁿ）．

当x∈（0，1]时，即0＜x≤1，

则∃k（k≥2，k∈N^*）使，

∴1＜kx≤k，即kx∈（1，k]，∴f（kx）∈[0，1）．

又，∴，即．

∵k≥2，

∴f（x）在（0，kⁿ⁺¹]（n∈N^*）上的取值范围是[0，kⁿ）．

【点评】本题考查函数值的求法，考查函数值无零点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．