若函数
满足：集合
中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数.
（Ⅰ）判断下列函数：①
；②
；③
中，哪些是等比源函数？（不需证明）
（Ⅱ）判断函数
是否为等比源函数，并证明你的结论；
（Ⅲ）证明：
，函数
都是等比源函数.
若函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数.
（Ⅰ）判断下列函数：①；②；③中，哪些是等比源函数？（不需证明）
（Ⅱ）判断函数是否为等比源函数，并证明你的结论；
（Ⅲ）证明：，函数都是等比源函数.
解：（Ⅰ）①②③都是等比源函数.
（Ⅱ）函数不是等比源函数.
证明如下：
假设存在正整数
且
，使得
成等比数列，
，整理得
，
等式两边同除以
得
.
因为
，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数，
所以等式不可能成立，
所以假设不成立，说明函数不是等比源函数.
（Ⅲ）法1：
因为
，都有
，
所以，数列
都是以
为首项公差为
的等差数列.
，
成等比数列，
因为
，
，
所以
，
所以，函数都是等比源函数.
（Ⅲ）法2：
因为，都有，
所以，数列都是以为首项公差为的等差数列.
由
，（其中
）可得
，整理得
，
令
，则
，
所以
，
所以，数列中总存在三项成等比数列.
所以，函数都是等比源函数.