如图1，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．试探索AE与BD的数量关系，并证明你的结论．
如图1，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．试探索AE与BD的数量关系，并证明你的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得AD垂直平分BC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE=CE；
（2）判断出△ABF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AF=BF，再根据同角的余角相等求出∠CBF=∠AEF，然后利用“角边角”证明△AEF和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BC，从而得到AE=2BD．
【解答】证明：（1）∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD垂直平分BC，
∴BE=CE；
（2）AE=2BD．理由如下：
∵∠BAC=45°，BF⊥AC，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF=BF，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∵AD垂直平分BC，
∴∠EAF+∠C=90°，BC=2BD，
∴∠CBF=∠AEF，
在△AEF和△BCF中，
，
∴△AEF≌△BCF（ASA），
∴AE=BC，
∴AE=2BD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质准确确定出全等三角形是解题的关键．