学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球

学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）

（Ⅰ）求在1次游戏中，

（i）摸出3个白球的概率；

（ii）获奖的概率；

（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．

【专题】概率与统计．

【分析】（I）（i）甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，事件数是C₅²C₃²，摸出3个白球事件数为

C₃²C₂¹C₂¹；由古典概型公式，代入数据得到结果，（ii）获奖包含摸出2个白球和摸出3个白球，且它们互斥，根据（i）求出摸出2个白球的概率，再相加即可求得结果，注意运算要正确，因为第二问要用本问的结果．（II）连在2次游戏中获奖次数X的取值是0、1、2，根据上面的结果，代入公式得到结果，写出分布列，求出数学期望．

【解答】解：（Ⅰ）（i）设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件A_i（i=，0，1，2，3），则

P（A₃）=，

（ii）设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B=A₂∪A₃，又

P（A₂）=，

且A₂、A₃互斥，所以P（B）=P（A₂）+P（A₃）=；

（Ⅱ）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．

P（X=0）=（1﹣）²=，

P（X=1）=C₂¹（1﹣）=，

P（X=2）=（）²=，

所以X的分布列是

X的数学期望E（X）=0×．

【点评】此题是个中档题．本题考查古典概型及共概率计算公式，离散型随机变量的分布列数学期望、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．