解析：
∵f(n)=f(n-1)+lgan-1,令n=2,则f(2)=f(1)+lga=-lga+lga=0.又f(1)=-lga,∴
∴f(n)=(
n2-
n-1)lga.
证明：（1）当n=1时，显然成立.
（2）假设n=k时成立，即f(k)=(
k2-
k-1)lga,则n=k+1时，f(k+1)=f(k)+lgak=f(k)+klga=(
k2-
k-1+k)lga=［
(k+1)2-
(k+1)-1］lga.
∴当n=k+1时，不等式成立.
综合（1）、（2），可知存在实数α、β且α=
,β=-
,使f(n)=(αn2+βn-1)lga对任意n∈N