已知函数f(x)=,存在正数b,使得f(x)的定义域和值域相同.(1)求非零

已知函数f(x)=,存在正数b,使得f(x)的定义域和值域相同.

(1)求非零实数a的值;

(2)若函数g(x)=f(x)有零点,求b的最小值.

答案

解:(1)若a>0,对于正数b,f(x)的定义域为D=(-∞,]∪[0,+∞),但f(x)的值域A[0,+∞),故D≠A,不合要求.

若a<0,对于正数b,f(x)的定义域为D=[0,].

由于此时[f(x)]max=f()=,故函数的值域A=[0,

由题意,有,由于b>0,所以a=-4.

(2)由f(x)=0,即=(0<x≤),

得4x4-bx3+b2=0.记h(x)=4x4-bx3+b2,则h′(x)=16x3-3bx2.

令h′(x)=0,x=∈(0,],

易知h(x)在(0,]上递减;在[,]上递增.

∴x=是h(x)的一个极小值点.

又h()=b2>0,h(0)→b2>0,∴由题意有h()≤0,

即4()4-b()3+b2≤0.∴b2.

故bmin=.

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