如图,正三棱柱的所有棱长都为
,
为
中点.用空间向量进行以下证明和计算:
(1)求证:
平面
;
(2)求二面角
的正弦值;
(3)求点
到平面的距离.
如图,正三棱柱的所有棱长都为,为中点.用空间向量进行以下证明和计算:
(1)求证:平面;
(2)求二面角的正弦值;
(3)求点到平面的距离.
略
第20题解析
(1)取
中点
为原点,
为
轴,在平面
内过作
的平行线为
轴,
为
轴,建立如图所示空间直角坐标系,
则
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
∴
,
,∴
,
,
又
,∴
平面
.
(2)∵平面,∴
是平面
的法向量,
设平面
的法向量
,
,
,
则
,取
,得
,
设二面角
的平面角为
,则
,
∴
,∴二面角的正弦值为
.
(3)是平面的法向量,向量
,
∴点到平面的距离为
.
