(1)求a2,a3,a4;
(2)求数列{an}的通项an;
(3)设数列{bn}满足b1=
,bn+1=
bn2+bn,求证:bn＜1(n≤k).
(文)已知O为坐标原点,点E、F的坐标分别为(-1,0)和(1,0),动点P满足
=4.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过E点作直线与C相交于M、N两点,且
,求直线MN的方程.
(1)求a2,a3,a4;
(2)求数列{an}的通项an;
(3)设数列{bn}满足b1=,bn+1=bn2+bn,求证:bn＜1(n≤k).
(文)已知O为坐标原点,点E、F的坐标分别为(-1,0)和(1,0),动点P满足=4.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过E点作直线与C相交于M、N两点,且,求直线MN的方程.
(理)解：
(1)a2=2,a3=3,a4=4.(2)nan+1=2(a1+a2+…+an),①(n-1)an=2(a1+a2+…+an-1),②①-②得nan+1-(n-1)an=2an,
即nan+1=(n+1)an,,
所以an=a1·=n(n≥2).
所以an=n(n∈N
*).(3)由(2)得b1=,bn+1=bn2+bn＞bn＞bn-1＞…＞b1＞0,
所以{bn}是单调递增数列,故要证bn＜1(n≤k)只需证bk＜1.
若k=1,则b1=
＜1显然成立,
若k≥2,则bn+1=
bn2+bn＜
bnbn+1+bn,所以
-
＞-
.
因此,
.
所以bk＜
＜1.所以bn＜1(n≤k).
(文)解：
(1)∵
=4,由椭圆的第一定义可知点P的轨迹为椭圆,且2a=4,c=1,∴a2=4,b2=3.
∴所求的椭圆方程为
=1.
(2)①当直线MN的斜率不存在时,不满足题意;
②当直线MN的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1),
代入
=1化简得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.
设两交点的坐标为M(x1,y1)、N(x2,y2),
则x1+x2=
,x1x2=
.∵
,∴x1+2x2=-3.
∴x2=-3+
,x1=-3-2x2=
.∴
.
∴k2=
,即k=±
,满足Δ＞0.∴所求的直线MN的方程为y=±
(x+1).