(理)设关于x的方程x2-mx-1=0有两个实根α、β,且α＜β.定义函数f(x)=.(1)

(1)求αf(α)+βf(β)的值;

(2)判断f(x)在区间(α,β)上的单调性,并加以证明;

(3)若λ、μ为正实数,证明不等式:|f()-f()|＜|α-β|.

(文)如图,在平面直角坐标系中,已知动点P(x,y),PM⊥y轴,垂足为M,点N与点P关于x轴对称,且=4.

(1)求动点P的轨迹W的方程;

(2)若点Q的坐标为(2,0),A、B为W上的两个动点,且满足QA⊥QB,点Q到直线AB的距离为d,求d的最大值.

答案：

∴∴f(α)=.

同理,f(β)=.∴αf(α)+βf(β)=2.

(2)∵f(x)=,∴f′(x)==.

当x∈(α,β)时,x²-mx-1=(x-α)(x-β)＜0,

∴f′(x)＞0.∴f(x)在(α,β)上为增函数.

(3)∵λ,μ∈R

.∴α＜＜β.

由(2)可知f(α)＜f()＜f(β),同理,可得f(α)＜f()＜f(β).

∴f(α)-f(β)＜f()-f()＜f(β)-f(α).

∴|f()-f()|＜|f(α)-f(β)|.

又由(1)知f(α)=,f(β)=,αβ=-1,

∴|f(α)-f(β)|=|-|=||=|α-β|.∴|f()-f()|＜|α-β|.

(文)解：(1)由已知M(0,y),N(x,-y).

则=(x,y)·(x,-2y)=x²-2y²=4,即=1.

(2)设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),如图,由QA⊥QB可得,

=(x₁-2,y₁)·(x₂-2,y₂)=(x₁-2)(x₂-2)+y₁y₂=0.

①若直线AB⊥x轴,则x₁=x₂,|y₁|=|y₂|=,且y₁、y₂异号,此时(x₁-2)(x₂-2)+y₁y₂=(x₁-2)²=0则x₁²-8x₁+12=0,

解之,得x₁=6或x₁=2.若x₁=2,则直线AB过Q点,不可能有QA⊥QB.

若x₁=6,则直线AB的方程为x=6,此时Q点到直线AB的距离为4.

②若直线AB斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+m,则

(2k²-1)x²+4kmx+2m²+4=0.

则即

又x₁+x₂=,x₁x₂=.

∴y₁y₂=(kx₁+m)(kx₂+m)=k²x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²

=.

∴=(x₁-2,y₁)·(x₂-2,y₂)=(x₁-2)(x₂-2)+y₁y₂=x₁x₂-2(x₁+x₂)+4+y₁y₂

=

则m²+8km+12k²=0,可得m=-6k或m=-2k.若m=-2k,则直线AB的方程为y=k(x-2),此直线过点Q,这与QA⊥QB矛盾,故舍去.若m=-6k,则直线AB的方程为y=kx-6k,即kx-y-6k=0.

此时若k=0,则直线AB的方程为y=0,显然与QA⊥QB矛盾,故k≠0.

∴d=.

由①②可得,d_max=4.

说明:其他正确解法按相应步骤给分.