(本题满分16分)        设函数f(x)=ax3-(a+b)x2+bx+c,其中a>0,b,c∈R

(本题满分16分)

       设函数f(x)=ax3-(a+b)x2+bx+c,其中a>0,bc∈R.

       (1)若=0,求函数f(x)的单调增区间;

(2)求证:当0≤x≤1时,||≤.(注:max{ab}表示ab中的最大值)

答案

解:(1)由=0,得a=b. …………………………………………………………1分

f(x)= ax3-2ax2+ax+c

=a(3x2-4x+1)=0,得x1=x2=1.…………………………………………2分

列表:

x

(-∞,)

(,1)

1

(1,+∞)

+

0

-

0

+

f(x)

极大值

极小值

由表可得,函数f(x)的单调增区间是(-∞,)及(1,+∞) .…………………………4分

(2)=3ax2-2(a+b)x+b=3

①当时,则上是单调函数,

所以,或,且+=a>0.

所以||≤.………………………………………………………8分

②当,即-ab<2a,则

(i) 当-ab时,则0<a+b

所以  >0.

所以 ||≤. ……………………………………………………12分

(ii) 当b<2a时,则<0,即a2+b2<0.

所以=>0,即

所以  ||≤

综上所述:当0≤x≤1时,||≤.……………………………16分

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