(1)求a、b的值.
（2）求A的取值范围，使不等式f(x)≤A-1 991对于x∈［-1,4］恒成立.
（3）令g(x)=-f(x)-3x2+tx+1，是否存在一个实数t,使得当x∈(0,1］时，g(x)有最大值1?
(1)求a、b的值.
（2）求A的取值范围，使不等式f(x)≤A-1 991对于x∈［-1,4］恒成立.
（3）令g(x)=-f(x)-3x2+tx+1，是否存在一个实数t,使得当x∈(0,1］时，g(x)有最大值1?
解：
(1)f′(x)=3x2+2ax,依题意,得k=f′(1)=3+2a=-3,∴a=-3.∴f(x)=x3-3x2+1.把B(1,b)代入得b=f(1)=-1,∴a=-3,b=-1.(2)令f′(x)=3x2-6x=0,得x=0或x=2.∵f(0)=1,f(2)=23-3×22+1=-3,f(-1)=-3,f(4)=17,
∴当x∈［-1,4］时,-3≤f(x)≤17,要使f(x)≤A-1 991对于x∈［-1,4］恒成立,则f(x)的最大值17≤A-1 991,∴A≥2 008.
(3)已知g(x)=-(x3-3x2+1)-3x2+tx+1=-x3+tx,∴g′(x)=-3x2+t.∵0＜x≤1,∴-3≤-3x2＜0.
①当t＞3时，t-3x2＞0,即g′(x)＞0,∴g(x)在(0，1］上为增函数，g(x)的最大值g(1)=t-1=1,得t=2(不合题意，舍去).
②当0＜t≤3时，g′(x)=-3x2+t,令g′(x)=0，得x=
.
列表如下：
x | (0, |
| ( |
g′(x) | + | 0 | - |
g(x) | ↗ | 极大值 | ↘ |
g(x)在x=
处取最大值-(
)3+t
=1,
∴t=
=
＜3.∴x=
＜1.
③当t≤0时，g′(x)=-3x2+t＜0,
∴g(x)在(0，1］上为减函数.∴g(x)在(0，1］上无最大值.
∴存在一个t=
,使g(x)在(0，1］上有最大值1.
)
,1］