如图 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O

如图 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点E，连接DE．

（1）当时，①若130°，求∠C的度数；②求证AB＝AP；

（2）当AB＝15，BC＝20时，

①是否存在点P，使得△BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；

②以D为端点过P作射线DH，作点O关于DE的对称点Q恰好落在∠CPH内，则CP的取值范围为__________．（直接写出结果）

【解析】（1）①连接BE，如图1所示：

∵BP是直径，∴∠BEC＝90°，

∵130°，∴50°，

∵，∴100°，∴∠CBE＝50°，∴∠C＝40°；

②证明：∵，∴∠CBP＝∠EBP，

∵∠ABE+∠A＝90°，∠C+∠A＝90°，

∴∠C＝∠ABE，∵∠APB＝∠CBP+∠C，∠ABP＝∠EBP+∠ABE，

∴∠APB＝∠ABP，∴AP＝AB；

（2）解：①由AB＝15，BC＝20，

由勾股定理得：AC25，

∵，

连接DP，如图1﹣1所示：

∵BP是直径，∴∠PDB＝90°，

∵∠ABC＝90°，∴PD∥AB，∴△DCP∽△BCA，

∴，

△BDE是等腰三角形，分三种情况：

当BD＝BE时，BD＝BE＝12，

∴；

当BD＝ED时，可知点D是Rt△CBE斜边的中线，

∴；

当DE＝BE时，作EH⊥BC，则H是BD中点，EH∥AB，如图1﹣2所示：

AE9，

∴CE＝AC﹣AE＝25﹣9＝16，CH＝BC﹣BH＝20﹣BH，

∵EH∥AB，∴，即，解得：BH，

∴，

∴；

综上所述，△BDE是等腰三角形，符合条件的CP的长为10或或7；

②当点Q落在∠CPH的边PH上时，CP最小，如图2所示：

连接OD、OQ、OE、QE、BE，

由对称的性质得：DE垂直平分OQ，∴OD＝QD，OE＝QE，

∵OD＝OE，∴OD＝OE＝QD＝QE，∴四边形ODQE是菱形，∴PQ∥OE，

∵PB为直径，∴∠PDB＝90°，∴PD⊥BC，

∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∴PD∥AB，∴DE∥AB，

∵OB＝OP，∴OE为△ABP中位线，∴PE＝AE＝9，

∴PC＝AC﹣PE﹣AE＝25﹣9﹣9＝7；

当点Q落在∠CPH的边PC上时，CP最大，如图3所示：

连接OD、OQ、OE、QD，

同理得：四边形ODQE是菱形，∴OD∥QE，

连接DF，∵∠DBC＝90°，∴DF是直径，∴D、O、F三点共线，∴DF∥AQ，∴∠OFB＝∠A，

∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠OBF＝∠A，∴PA＝PB，

∵∠OBF+∠CBP＝∠A+∠C＝90°，∴∠CBP＝∠C，

∴PB＝PC＝PA，∴PCAC＝12.5，∴7＜CP＜12.5，故答案为：7＜CP＜12.5．