已知：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D．
（1）如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角（0°≤α≤120°），当A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数．
答：（1）AD=A′D．
证明：如图1，
∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC，
∴BC=BC′，BA=BA′．
∵∠A′BC′=∠ABC=60°，
∴△BCC′和△BAA′都是等边三角形．
∴∠BAA′=∠BC′C=60°．
∵∠A′C′B=90°，
∴∠DC′A′=30°．
∵∠AC′D=∠BC′C=60°，
∴∠ADC′=60°．
∴∠DA′C′=30°．
∴∠DAC′=∠DC′A，∠DC′A′=∠DA′C′．
∴AD=DC′，DC′=DA′．
∴AD=A′D．
（2）AD=A′D
证明：连接BD，如图2，
由旋转可得：BC=BC′，BA=BA′，∠CBC′=∠ABA′．
∴
=
．
∴△BCC′∽△BAA′．
∴∠BCC′=∠BAA′．
∵∠BOC=∠DOA，
∴△BOC∽△DOA．
∴∠ADO=∠OBC，
=
．
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA．
∴∠BDO=∠CAO．
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°．
∴∠BDO+∠ADO=90°，即∠ADB=90°．
∵BA=BA′，∠ADB=90°，
∴AD=A′D．
（3）当A、C′、A′三点在一条直线上时，如图3，
则有∠AC′B=180°﹣∠A′C′B=90°．
在Rt△ACB和Rt△AC′B中，
．
∴Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL）．
∴∠ABC=∠ABC′=60°．
∴当A、C′、A′三点在一条直线上时，旋转角α的度数为60°．
