（07年湖南卷文）（１4分）
如图，已知直二面角
，直线CA和平面
所成的角为
.
(Ⅰ)证明
；
(Ⅱ)求二面角
的大小.
（07年湖南卷文）（１4分）
如图，已知直二面角，直线CA和平面所成的角为.
(Ⅰ)证明；
(Ⅱ)求二面角的大小.
解析：（I）在平面
内过点
作
于点
，连结
．
因为
，
，所以
，又因为
，所以
．
而
，所以
，
．从而
．又，
所以
平面
．因为
平面，故
．
（II）解法一：由（I）知，，又，，
，所以
．
过点作
于点
，连结
，由三垂线定理知，
．
故
是二面角
的平面角．
由（I）知，，所以
是
和平面
所成的角，则
，
不妨设
，则
，
．
在
中，
，所以
，
于是在
中，
．
故二面角的大小为
．
解法二：由（I）知，
，
，
，故可以为原点，分别以直线
为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系（如图）．
因为，所以是和平面所成的角，则．
不妨设，则，
．
在中，，
所以．
则相关各点的坐标分别是
，
，
，
．
所以
，
．
设
是平面
的一个法向量，由
得
取
，得
．
易知
是平面的一个法向量．
设二面角的平面角为
，由图可知，
．
所以
．
故二面角的大小为
．